\documentclass{beamer}
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\title{Evoluzione temporale della struttura elettronica}
\author{\calligra Fulvio Ciriaco}
\subject{}
\begin{document}
  \pgfdeclareimage[width=1.5cm]{logo}{uniba.png}
  \logo{\pgfuseimage{logo}}
  \begin{frame}{\titlepage}
  \tableofcontents
  \end{frame}


\begin{frame} 
  \frametitle{ritorno al futuro}
  \begin{equation*}
    -i\hbar \frac \partial {\partial t} \psi(x,t) = H(x,t) \psi(x,t)
  \end{equation*}
  applicazioni:
  \begin{itemize}
    \item eccitazione elettromagnetica
    \item urto
    \item car-parrinello
    \item ricerca alternativa dello stato fondamentale
    \item calcolo degli stati eccitati
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{stazionarietà}
  \begin{align*}
    H(x,t) &\equiv H(x) \\
    H(x)\phi_k(x) &= E_i\phi_k(x)
  \end{align*}
  soluzioni stazionare:
  \begin{align*}
    \psi(x,t=0) &=\phi_k(x) \\
    \psi(x,t) &= e^{iE_k t/\hbar}\phi_k(x) \\
    -i\hbar\frac \partial {\partial t} \psi &= -i\hbar \frac {i E_k}\hbar \psi = E_k \psi=H \psi
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{soluzione generale}
  \begin{align*}
    \psi(x,t) &=\sum_k a_k(t)\phi_k(x) \\
    \psi(x,t=0) &= \sum_k a_k(t=0) \phi_k
  \end{align*}
  e sostituendo
  \begin{align*}
    -i\hbar \sum_k \dot a_k(t) \phi_k&= \sum_k a_k(t) H \phi_k = \sum_k a_k E_k \phi_k\\
    a_k(t) &= a_k(t=0) e^{i E_k t/\hbar} \\
    \psi(x,t) &= \sum_k a_k(t=0) e^{i E_k t/\hbar} \phi_k(x)
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{applicazioni}
  \begin{itemize}
    \item TDHF
    \item TDDFT
    \item EOMCC
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{}
\end{frame}

\end{document}