\documentclass{beamer}
\usepackage[english,italian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{listings}
\usepackage{calligra}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cancel}
\graphicspath{ {./figure/} }
\usetheme{default}
\usecolortheme{beaver}

\title{densità}
\author{\calligra Fulvio Ciriaco}
\subject{}
\begin{document}
  \pgfdeclareimage[width=1.5cm]{logo}{uniba.png}
  \logo{\pgfuseimage{logo}}
  \begin{frame}{\titlepage}
  \tableofcontents
  \end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{l'interpretazione base per funzioni di singola particella}
  \begin{equation*}
    \rho(x)=|\psi(x)|^2
  \end{equation*}
  a quale operatore corrisponde?
  \pause
  \begin{align*}
    \rho(x) &=\int \psi^*(x') \delta(x-x') \psi(x') dx' \implies \\
    \hat d(y) &= \delta(y-x)
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{distribuzioni e $\delta$}
  \begin{align*}
    \sum_k f_k \delta_{l,k} &= f_l \\
    \delta_{m,n} &=\left\{
      \begin{matrix}
        1 \iff m=n\\
        0 \iff m \neq n
      \end{matrix}
      \right.
  \end{align*}
  \begin{align*}
    \int f(x) \delta(y-x) dx &= f(y) \\
    \delta(x) &= ?
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{estensione ad una funzione di più particelle identiche}
  \begin{align*}
    \hat d(y) &= \sum_n \delta(y-x_n)\\
    \rho(y)&=\int \psi^*(\mathbf{x}) \sum_n \delta(y-x_n) \psi(\mathbf{x}) d\mathbf{x}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{il valore di aspettazione di un potenziale dipende solo dalla densità}
  \begin{equation*}
    \int \psi^*(\mathbf{x}) \sum_n V(x_n) \psi(\mathbf{x}) d\mathbf{x}=
    \int \rho(x) V(x) dx
  \end{equation*}
  \pause
  infatti
  \begin{align*}
    \int \psi^*(\mathbf{x}) \sum_n V(x_n) \psi(\mathbf{x}) d\mathbf{x}&=\\ 
    \int \psi^*(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x}) 
    \left(\int V(y) \sum_n \delta(y-x_n) dy\right) d\mathbf{x}&= \\
    \int V(y)\left(\int \psi^*(\mathbf{x}) \psi(\mathbf{x}) 
  \sum_n \delta(y-x_n) d\mathbf{x}\right) dy &
    \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{densità bielettronica}
  per un sistema a due elettroni
  \begin{align*}
    \rho(x_1,x_2) &=|\psi(x_1,x_2)|^2 \\
    \rho(y_1,y_2) &=\int \psi^*(x_1,x_2) \delta(y_1-x_1)\delta(y_2-x_2) \psi(x_1,x_2) dx_1dx_2
  \end{align*}
  \pause
  per un sistema con due o più elettroni:
  \begin{align*}
    \hat d(y_1,y_2) &= \sum_{n<m} \delta(y_1-x_n)\delta(y_2-x_m) = 
    \frac 1 2 \sum_{n \neq m} \delta(y_1-x_n)\delta(y_2-x_m)\\
    \rho(y_1,y_2) &=\int \psi^*(\mathbf{x}) \hat d(y_1, y_2) \psi(\mathbf{x}) d\mathbf{x}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{applicazione della densità a due coordinate}
  come per la densità di singola particella, possiamo calcolare i valori di aspettazione
  di operatori moltiplicativi dalla densità
  \begin{equation*}
    \int \psi^*{\mathbf x} \sum_{n<m} \frac 1 {|r_n-r_m|} \psi(\mathbf{x}) d\mathbf x=
    \int \rho(x_1,x_2) \frac 1 {|r_1-r_2|} dx_1 dx_2
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame} 
  \frametitle{ma per funzioni d'onda monodeterminantali}
  \begin{align*}
    \rho(y) &=\int \psi^*(\mathbf {x})\sum_n \delta(x_n-y) \psi(\mathbf{x}) d\mathbf{x}=
    \sum_n |\phi_n(y)|^2 \\
    \rho(y_1,y_2) &= \psi^*(\mathbf {x}) \frac 1 2 \sum_{n,m} \delta(x_n-y_1)\delta(x_m-y_2) 
    \psi(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \\
                  &= \frac 1 2\sum_{n,m} |\phi_n(y_1)\phi_m(y_2)|^2 - 
                  \phi_n^*(y_1)\phi^*_m(y_2)\phi_n(y_2)\phi_m(y_1)
  \end{align*}
\end{frame}

\end{document}