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\title{Introduzione alla meccanica quantistica}
\author{\calligra Fulvio Ciriaco}
\subject{}
\begin{document}
  \pgfdeclareimage[width=1.5cm]{logo}{uniba.png}
  \logo{\pgfuseimage{logo}}
  \begin{frame}{\titlepage}
  \tableofcontents
  \end{frame}

  \begin{frame} 
    \frametitle{rappresentazioni}
    \begin{equation*}
      H(X)\Phi_i(X) = E_i \Phi_i(X)
    \end{equation*}

    come rappresento $\Phi$ e $H$?

  \end{frame}

  \begin{frame} 
    \frametitle{isomorfismo}
    un isomorfismo è un cambiamento di base o rappresentazione
    \begin{equation*}
      \mathbf{e}'=T \mathbf{e}
    \end{equation*}

    per esempio la trasformazione dello spazio $\mathbb{R}^2$:
    \begin{align*}
      x' &= x + y \\
      y' &= x - y
    \end{align*}
  \end{frame}

  \begin{frame} 
    \frametitle{matrici e vettori}
    se l'applicazione è sullo stesso spazio, posso rappresentarla con una matrice, per esempio:
    \begin{align*}
      x' &= x + y \\
      y' &= x - y
    \end{align*}

    \begin{align*}
      T &= \bigl[\begin{smallmatrix}
          1 & 1\\
          1 & -1\\
      \end{smallmatrix}\bigr] \\
          e'_i &= T_{i,j} e_j
    \end{align*}

  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{trasformazione della rappresentazione}
    sia
    \begin{equation*}
      y=\sum_i a_i e_i
    \end{equation*}
    e sia
    \begin{equation*}
      \mathbf{e}'=T\mathbf{e}
    \end{equation*}
    come si trasforma il vettore dei coefficienti $a$, affinchè sia
    \begin{equation*}
      y=\sum_i a'_i e'_i ?
    \end{equation*}

  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{trasformazione della rappresentazione}
    \begin{equation*}
      y=\sum_i a_i e_i= \mathbf{a} \underbrace{T^{-1} T}_I \mathbf{e}=
      \underbrace {\mathbf{a} T^{-1}}_{\mathbf{a}'} \underbrace {T \mathbf{e}}_{\mathbf{e}'}
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{trasformazione di rappresentazione degli operatori}
    sia $\mathbf{O}$ la rappresentazione di un operatore $O$ e $T$ una trasformazione di base,
    come si trasforma $\mathbf{O}$ per ottenere la rappresentazione di $O$ nella nuova base?
    \begin{align*}
      u &=Ov \\
      v' &= Tv \\
      u' &=Tu\\
      v' &= O' u'
    \end{align*}

  \end{frame}
  \begin{frame} 
  \frametitle{trasformazione di rappresentazione degli operatori}
  \begin{align*}
    u &= Ov \\
    \underbrace{Tu}_{u'} &= \underbrace{T O T^{-1}}_{O'} \underbrace{Tv}_{v'}
  \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{equazioni agli autovalori}
    \begin{equation*}
      H \psi_i = E_i \psi_i
    \end{equation*}
    consideriamo il seguente isomorfismo tra $\mathbb{R}^n$ e lo spazio delle funzioni:
    \begin{equation*}
      \psi_i=T x_{ij}=\sum_j x_{ij} e_j
    \end{equation*}
    dove $e_i$ sono funzioni di base. assumeremo che le funzioni di base siano ortonormali con un
    consueto prodotto scalare. in tal caso:
    \begin{equation*}
      x_{ij}=\langle e_j | \psi_i \rangle
    \end{equation*}
   possiamo allo stesso modo sfruttare l'identità operatoriale:
   \begin{equation*}
     I=\sum_i |e_i\rangle\langle e_i|
   \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{equazioni agli autovalori}
    \begin{align*}
      H \psi_i &= E_i \psi_i \\
      \langle e_k| H | e_j\rangle \langle e_j |\psi_i\rangle &= E_i \langle e_k | \psi_i\rangle\\
      \mathbf{H}\mathbf{x}_i &=E_i \mathbf{x}_i
    \end{align*}
  \end{frame}
\end{document}